»Der Besuch der alten Dame« bedeutete für Dürrenmatt den Durchbruch als Bühnenautor und das Ende seiner finanziellen Sorgen. Das Theaterstück brachte ihm zahlreiche Ehrungen und Literaturpreise ein. Neben seinem Drama »Die Physiker« gilt »Der Besuch der alten Dame« unter Literaturkritikern als Dürrenmatts bestes Stück. Das Werk zählt als moderner Klassiker der dramatischen Gegenwartsliteratur nach wie vor zu den meistgespielten Theaterstücken im deutschsprachigen Raum sowie als fester Bestandteil deutschsprachiger Schullektüre.

Nach der Schweizer Uraufführung unter der Regie von Oskar Wälterlin wurde »Der Besuch der alten Dame« sowohl kommerziell zum Publikumserfolg, als auch zum Liebling der Kritiker und darüber hinaus zum meistgespielten Drama der Spielsaisons 1956 und 1957. Die deutsche Erstaufführung erfolgte nach einer Überarbeitung des Stückes durch den Autor am 28. Mai 1956 an den Münchner Kammerspielen. Dürrenmatt inszenierte sein Stück mehrfach selbst. Die Premiere seiner ersten Inszenierung fand im November 1956 in Basel statt. Im gleichen Jahr wurde das Drama auch international erfolgreich aufgeführt und machte den Nachkriegsdramatiker Dürrenmatt weltberühmt.

Fremdsprachige Erstaufführungen fanden beispielsweise 1956 in Japan, 1957 in Paris und 1958 in New York City statt. Insbesondere die Inszenierung am New Yorker Broadway wurde ein voller Erfolg und brachte Dürrenmatt 1959 den New York Drama Critics' Circle Award ein.

Bereits 1958 erarbeitete Dürrenmatt gemeinsam mit dem Regisseur Ludwig Cremer eine deutschsprachige Fernsehadaption des Stückes. Der Film »Der Besuch der alten Dame« wurde erstmals am 19. Februar 1959 ausgestrahlt. Dürrenmatts Stück ist seitdem mehrfach und auch in den USA verfilmt worden. Die letzte deutschsprachige Verfilmung stammt aus dem Jahr 2008.